Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；
（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且DN=λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量，即可证明AM∥平面PCD；
（Ⅱ）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置即可，得出λ的值．

解答 （Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2，0）
设平面PCD的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{-x-2y=0}\end{array}\right.$
令z=1，则x=2，y=-1，于是$\overrightarrow n=（2，-1，1）$
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=0$，∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow n$，
∴AM∥平面PCD                          …（6分）
（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}=λ（1，2，0）$
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=（1，0，0）+λ（1，2，0）=（1+λ，2λ，0）$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=（1+λ，2λ，0）-（0，1，1）=（1+λ，2λ-1，-1）$
又面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）
设MN与平面PAB所成的角为θ
则$sinθ=|{\frac{（1+λ，2λ-1，-1）•（1，0，0）}{{\sqrt{{{（1+λ）}^2}+{{（2λ-1）}^2}+1}}}}|=|{\frac{1+λ}{{\sqrt{5{λ^2}-2λ+3}}}}|$=$|{\frac{1+λ}{{\sqrt{5{{（1+λ）}^2}-12（1+λ）+10}}}}|$=$|{\frac{1}{{\sqrt{5-\frac{12}{1+λ}+10{{（\frac{1}{1+λ}）}^2}}}}}|$=$|{\frac{1}{{\sqrt{10{{（\frac{1}{1+λ}-\frac{3}{5}）}^2}+\frac{7}{5}}}}}|$
∴$当\frac{1}{1+λ}=\frac{3}{5}$ 时，即$5=3+3λ，λ=\frac{2}{3}$时，sinθ最大，
∴MN与平面PAB所成的角最大时$λ=\frac{2}{3}$                         …（13分）

点评 本题考查了运用空间向量求证线面的平行关系，考查了利用空间向量求解直线与平面所成角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．