题目内容
14．正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{3}}{6}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{6}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ |
分析 求出正四棱锥S-ABCD的高为$\sqrt{2}$，由VS-ABC=VA-SBC，利用等积法求出三棱锥A-SBC的高，由此能求出直线AC与平面SBC所成角的正弦值
解答 解：∵正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，
∴正四棱锥S-ABCD的高为$\sqrt{2}$，
在三棱锥S-ABC中，S△ABC=2，∴VS-ABC=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又在三棱锥A-SBC中，S△SBC=$\sqrt{3}$，
∵VS-ABC=VA-SBC，
∴三棱锥A-SBC的高为h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴直线AC与平面SBC所成角的正弦值为$\frac{h}{AC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．
点评 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，求出三棱锥A-SBC的高是关键．
练习册系列答案
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为$\frac{π}{4}$；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{2}{3}$．
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将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\sqrt{2}$．
如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点．
在三棱锥P-ABC中，AC=BC=AP=BP=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，AB=2．