Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形， ，点在线段上，且， 为的中点.

（Ⅰ）若，求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面， 为等边三角形，且，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：⑴由得，底面为菱形， ，利用面面垂直判定定理证明；

⑵法一：由面面，推出，计算出，则；法二：推出面， ，先计算出， ，，然后

解析：(Ⅰ)∵PA=PD，AO=OD,∴PO⊥AD，

又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BO⊥AD，

PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB

又AD平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD；

（Ⅱ）方法一

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵平面ABCD

∴PO⊥OB

∵为等边三角形， ,∴，

∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴

∴

由(Ⅰ) AD⊥平面POB∴BC⊥平面POB

∴

方法二

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵为等边三角形， ,∴，

∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，

由(Ⅰ)BO⊥AD∴

∵PM=2MC

∴