题目内容
【题目】已知,给定
个整点
,其中
.
(Ⅰ)当时,从上面的
个整点中任取两个不同的整点
,求
的所有可能值;
(Ⅱ)从上面个整点中任取
个不同的整点,
.
(i)证明:存在互不相同的四个整点,满足
,
;
(ii)证明:存在互不相同的四个整点,满足
,
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)详见解析;(ii)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)列出所有的整点后可得的所有可能值.
(Ⅱ)对于(i),可用反证法,对于(ii),可设直线上选择了
个的点,计算可得诸直线上不同两点的横坐标和的不同个数的最小值为
,结合
中任意不同两项之和的不同的值恰有
个可得至少有一个和出现两次,从而可证结论成立.
解:(Ⅰ)当时,4个整点分别为
.
所以的所有可能值
.
(Ⅱ)(i)假设不存在互不相同的四个整点,
满足.
即在直线中至多有一条直线上取多于1个整点,其余每条直线上至多取一个整点, 此时符合条件的整点个数最多为
.
而,与已知
矛盾.
故存在互不相同的四个整点,满足
.
(ii)设直线上有
个选定的点.
若,设
上的这
个选定的点的横坐标为
,且满足
.
由,
知中任意不同两项之和至少有
个不同的值,这对于
也成立.
由于中任意不同两项之和的不同的值恰有
个,
而,
可知存在四个不同的点,
满足.
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【题目】某市政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,居民用水原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
阶梯级别 | 第一阶梯 | 第二阶梯 | 第三阶梯 |
月用水范围(吨) |
为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了户居民的月用水量(单位:吨),得到统计表如下:
居民用水户编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
用水量(吨) | 7 | 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | <>13 | 14 | 15 | 20 |
(1)若用水量不超过吨时,按
元/吨计算水费;若用水量超过
吨且不超过
吨时,超过
吨部分按
元/吨计算水费;若用水量超过
吨时,超过
吨部分按
元/吨计算水费.试计算:若某居民用水
吨,则应交水费多少元?
(2)现要在这户家庭中任意选取
户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望;
(3)用抽到的户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取
户,若抽到
户月用水量为第一阶梯的可能性最大,求
的值.
【题目】已知鲜切花的质量等级按照花枝长度
进行划分,划分标准如下表所示.
花枝长度 | |||
鲜花等级 | 三级 | 二级 | 一级 |
某鲜切花加工企业分别从甲乙两个种植基地购进鲜切花,现从两个种植基地购进的鲜切花
中分别随机抽取30个样品,测量花枝长度并进行等级评定,所抽取样品数据如图所示.
(1)根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值,给出结论即可);
(2)若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工,求选取的2个全部来自乙种植基地的概率;
(3)根据该加工企业的加工和销售记录,了解到来自乙种植基地的鲜切花的加工产品的单件利润为4元;来自乙种植基地的鲜切花
的加工产品的单件成本为10元,销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.
三级花加工产品 | 二级花加工产品 | 一级花加工产品 | |
销售率 | |||
单价/(元/件) | 12 | 16 | 20 |
由于鲜切花加工产品的保鲜特点,未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体,如果仅从单件产品的利润的角度考虑,该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花
?