题目内容
【题目】椭圆
的焦点是
，
，且过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过左焦点
的直线
与椭圆相交于
、
两点，
为坐标原点．问椭圆上是否存在点
，使线段
和线段
相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
y2＝1； （2）存在，P（﹣1，
）
【解析】
（1）由焦点坐标及过的点和
，
，
之间的关系求出椭圆的标准方程；
（2）假设存在点
使线段
和线段
相互平分，设直线
与椭圆联立求出两根之和，进而求出的中点的坐标，再由题意求出的坐标用参数表示，由在椭圆上，求出参数进而求出的坐标．
解：（1）由题意知
，
，
，解得：
，
，椭圆
的标准方程：
；
（2）由（1）知
，假设存在点
，
，使线段和线段相互平分，由题意知直线
的斜率不为零，设直线的方程为：
，设
，
，
联立与椭圆的方程整理得：
，
，
，所以的中点坐标
，
由题意知
，
，而在椭圆上，所以
，解得：
，所以
，
所以存在点使线段和线段相互平分，且的坐标
．
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