Question

10．解方程：
（1）$\frac{1+{3}^{-x}}{1+{3}^{x}}$=3；
（2）log₄（3x-1）=log₄（x-1）+log₄（3+x）．

Answer 1

分析 （1）令t=3^x，t＞0，则方程$\frac{1+{3}^{-x}}{1+{3}^{x}}$=3可化为：$\frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=3$，解分式方程求出t，进而可得答案；
（2）利用对数的运算性质，将已知对数方程转化为二次方程，进而根据真数大于0进而检验，可得答案；

解答 解：（1）令t=3^x，则t＞0，
则方程$\frac{1+{3}^{-x}}{1+{3}^{x}}$=3可化为：$\frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=3$，
即$1+\frac{1}{t}=3（1+t）$=3+3t，
即3t²+2t-1=0，
解得：t=$\frac{1}{3}$，或t=-1（舍去），
即3^x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=1，
（2）要使方程log₄（3x-1）=log₄（x-1）+log₄（3+x）有意义x＞1，
根据对数的运算性质可将原方程化为：
log₄（3x-1）=log₄[（x-1）（3+x）]，
即3x-1=（x-1）（3+x），
即x²-x-2=0，
解得：x=2，或x=-1（舍去），
故原方程的根为2．

点评 本题考查的知识点是指数方程和对数方程，利用换元法，或函数的性质，将原方程化为整式方程，是解答的关键．