Question

19．已知xlnx-（a+1）x+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，那么实数a的取值范围为a≤0．

Answer 1

分析 对一切x∈[$\frac{1}{2}$，2]，f（x）≥0恒成立，可化为a≤lnx-1+$\frac{1}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．令F（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：对一切x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函数f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，f（x）≥0恒成立，即xlnx-（a+1）x+1≥0恒成立，即a≤lnx-1+$\frac{1}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．
令F（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，
则F′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
在[$\frac{1}{2}$，1）上F′（x）＜0，在（1，2]上F′（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=0，
∴a≤0．
故答案为：a≤0．

点评 该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．