题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间.
(2)设直线是曲线
的切线,若
的斜率存在最小值-2,求
的值,并求取得最小斜率时切线
的方程.
(3)已知分别在
,
处取得极值,求证:
.
【答案】(1)单调递增区间为,
;单调递减区间为
;(2)
,
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由的正负可确定
的单调区间;
(2)利用基本不等式可求得时,
取得最小值
,由导数的几何意义可知
,从而求得
,求得切点坐标
后,可得到切线方程;
(3)由极值点的定义可知是
的两个不等正根,由判别式大于零得到
的取值范围,同时得到韦达定理的形式;化简
为
,结合
的范围可证得结论.
(1)由题意得:的定义域为
,
当时,
,
,
当
和
时,
;当
时,
,
的单调递增区间为
,
;单调递减区间为
.
(2),所以
(当且仅当
,即
时取等号),
切线
的斜率存在最小值
,
,解得:
,
,即切点为
,
从而切线方程,即:
.
(3),
分别在
,
处取得极值,
,
是方程
,即
的两个不等正根.
则,解得:
,且
,
.
,
,
,
即不等式成立.
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