Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，且， ， ， 是的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 。

【解析】试题分析：（1）根据条件可得， 两两垂直，因此可建立空间直角坐标系，然后将平面的问题转化成用向量证明， 的问题；（2）求出平面，平面的法向量，利用两向量的夹角求出二面角的平面角。

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为侧面底面，且， ，

所以， ， ，

如图，以点为坐标原点，分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.

设， 是的中点，则有， ， ， ， ，

于是， ， ，

因为， ，

所以， ，且，

因此平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量为，

设平面的法向量为 ，

， ，

则 所以

不妨设，则 ，

，

由图形知，二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为。