Question

10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x．
（1）求x＜0时，函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，根据函数的奇偶性，结合当x＞0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，可求出x＜0时函数的表达式；
（2）分类讨论，解不等式，即可求实数x的取值范围．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，
∴f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即f（x）=-f（-x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（-x），x＜0，
（2）x＞0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x≤1，∴x≥$\frac{1}{2}$；
x＜0时，f（x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（-x）≤1，∴x≤-2．
综上，x≥$\frac{1}{2}$或x≤-2．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，考查解不等式，确定函数的解析式是关键．