Question

【题目】2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：

科技投入	2	4	6	8	10	12
收益	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2

并根据数据绘制散点图如图所示：

根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

43.5	4.5	854.0	34.7	12730.4	70

其中，.

（1）（i）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）；

（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中）

（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.

附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：.

Answer 1

【答案】（1）（i）（ii）科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好.

【解析】

（1）（i）令，，则，根据最小二乘估计，，则，从而确定关于的回归方程即可. （ii）令，解得的取值范围即可.

（2）先计算甲建立的回归模型的残差，，再计算甲模型的相关指数，与乙模型的相关指数比较大小，即可.

（1）（i），令；

令，则.

根据最小二乘估计可知：

从而，故回归方程为，即.

（ii）设，解得，即

故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.

（2）甲建立的回归模型的残差：

	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2
	4	8	16	32	64	128
	1.6	-1.5	-4	-4.5	16	1.2

则，从而，

即甲建立的回归模型拟合效果更好.