题目内容
（2013•崇明县二模）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时） 的关系为f（x）=|
-a|+2a+
，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
]．
（1）令t=
，x∈[0，24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？
| x |
| x2+1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）令t=
| x |
| x2+1 |
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？
分析：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]，利用单调性的定义可以证明；
（2）先确定t的取值范围是[0，
]，再进行分类讨论，从而可得M（a）的解析式；
（3）利用分段函数，可得当
＜a≤
时不超标，从而可得结论．
（2）先确定t的取值范围是[0，
| 1 |
| 2 |
（3）利用分段函数，可得当
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 9 |
解答：解：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]．
证明：任取0≤x1＜x2≤1，t（x1）-t（x2）=
，
∵0≤x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，∴
＜0，∴t（x1）-t（x2）＜0．
所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）
（2）由函数的单调性知tmax（x）=t（1）=
，tmin（x）=t（0）=0，
∴t=
=
∈[0，
]，∴t的取值范围是[0，
]．
当a∈[0，
]时，由于f（x）=|
-a|+2a+
，则可记g（t）=|t-a|+2a+
则g（t）=
∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，
]上单调递增，
且g（0）=3a+
．g（
）=a+
∴g（0）-g（
）=2（a-
）．
故M（a）=
．
（3）当0≤a≤
时，a+
≤2，∴a≤
，不满足题意a∈[0，
]；
当
＜a≤
时，3a+
≤2，∴a≤
，∴
＜a≤
时，满足题意a∈[0，
]．
故当
＜a≤
时不超标，当0≤a≤
时超标．
证明：任取0≤x1＜x2≤1，t（x1）-t（x2）=
| (x1-x2)(1-x1x2) |
| (1+x12)(1+x22) |
∵0≤x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，∴
| (x1-x2)(1-x1x2) |
| (1+x12)(1+x22) |
所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）
（2）由函数的单调性知tmax（x）=t（1）=
| 1 |
| 2 |
∴t=
| x |
| x2+1 |
| 1 | ||
x+
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当a∈[0，
| 1 |
| 2 |
| x |
| x2+1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
则g（t）=
|
∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，
| 1 |
| 2 |
且g（0）=3a+
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 6 |
∴g（0）-g（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
故M（a）=
|
（3）当0≤a≤
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
当
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
故当
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 4 |
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、考查求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．
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