题目内容
(2013•崇明县二模)设函数 f(x)=
,函数y=f[f(x)]-1的零点个数为
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2
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.分析:根据函数 f(x)=
,根据指数函数和对数函数的性质,我们可以分类讨论,化简函数函数y=f[f(x)]-1的解析式,进而构造方程求出函数的零点,得到答案.
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解答:解:∵函数 f(x)=
,
当x≤0时
y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1
令y=f[f(x)]-1=0,x=1(舍去)
当0<x≤1时
y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=2log2x-1=x-1
令y=f[f(x)]-1=0,x=1
当x>1时
y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1
令y=f[f(x)]-1=0,log2(log2x)=1
则log2x=2,x=4
故函数y=f[f(x)]-1的零点个数为2个
故答案为:2
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当x≤0时
y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1
令y=f[f(x)]-1=0,x=1(舍去)
当0<x≤1时
y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=2log2x-1=x-1
令y=f[f(x)]-1=0,x=1
当x>1时
y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1
令y=f[f(x)]-1=0,log2(log2x)=1
则log2x=2,x=4
故函数y=f[f(x)]-1的零点个数为2个
故答案为:2
点评:本题考查的知识点是函数的零点,根的存在性及根的个数判断,其中根据指数函数和对数函数的图象和性质,化简函数的解析式是解答的关键.
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