题目内容
12.已知命题p:函数f(x)=x3-(a+1)x-1在区间[0,1]上单调递增;命题q:?x0∈R,x2+2ax+2-a<0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.分析 命题p:函数f(x)=x3-(a+1)x-1在区间[0,1]上单调递增,求出f′(x)≥0在x∈[0,1]上恒成立,分离变量后利用函数的单调性求实数a的范围.求出q是真命题时,a的范围,利用复合命题的真假,判断求解即可.
解答 解:命题p:函数f(x)=x3-(a+1)x-1;所以f′(x)=3x2-a-1,
因为函数f(x)=x3-(a+1)x-1在区间[0,1]上单调递增;
所以f′(x)=3x2-a-1≥0在x∈[0,1]上恒成立.
即a≤3x2-1,在x∈[0,1]上恒成立.
所以a≤-1.
命题q:∵?x0∈R,使得x2+2ax+2-a<0,∴△=4a2-4(2-a)>0⇒a>1或a<-2,
若p∨q为真,p∧q为假,可知两个命题一真一假;
p真q假时:可得a∈[-2,-1].
q真p假时:可得a∈(1,+∞).
实数a的取值范围:[-2,-1]∪(1,+∞)
点评 本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系,训练了利用分离变量法求参数的范围,考查了利用函数的单调性求函数的最值,复合命题的真假的判断与应用,是中档题.
练习册系列答案
相关题目
20.已知在△ABC中,AB=1,AC=2,BC=$\sqrt{7}$,D为CB上一点,$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$,点E为AC的中点,则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AD}$=( )
A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{8}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
17.已知|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$,且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直,则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为( )
A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |