若函数f(x)=${C} {n}^{0}$x2n-1-${C} {n}^{1}$x2n+${C} {n}^{2}$x2n+1--+${C} {n}^{r}$(-1)r•x2n-1+r+-+${C} {n}^{n}$(-1)n•x3n-1.其中n∈N*.则f′(1)=0．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

2．若函数f（x）=

C_{n}^{0}

${C}_{n}^{0}$ x^2n-1-

C_{n}^{1}

${C}_{n}^{1}$ x²ⁿ+

C_{n}^{2}

${C}_{n}^{2}$ x²ⁿ⁺¹-…+

C_{n}^{r}

${C}_{n}^{r}$ （-1）^r•x^2n-1+r+…+

C_{n}^{n}

${C}_{n}^{n}$ （-1）ⁿ•x^3n-1，其中n∈N^*，则f′（1）=0．

分析先化简函数f（x）的解析式，再求出f′（x），从而求得f′（1）的值．

解答解：f（x）=x^2n-1[C_n⁰-C_n¹x+C_n²x²-+C_n^r（-1）^rx^r+C_nⁿxⁿ]=x^2n-1（1-x）ⁿ，
f′（x）=（2n-1）x^2n-2（1-x）ⁿ-x^2n-1•n（1-x）^n-1=x^2n-2（1-x）^n-1[2n-1-（3n-1）x]．
∴f′（1）=0，
故答案为：0．

点评本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于基础题．

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13．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（-∞，-2）∪（3，+∞），求不等式cx²+bx+a＞0的解集；
（2）若函数f（x）的图象与|y|=|x|的图象没有公共点，求证：?x∈R，都有|f（x）|＞

\frac{1}{4 | a |}

$\frac{1}{4|a|}$ ；
（3）若当-1≤x≤1时，都有-1≤f（x）≤1，求证：当-2≤x≤2时，都有-7≤f（x）≤7．

10．定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

\frac{x + y}{1 + x y}

$\frac{x+y}{1+xy}$ ），且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0．
（1）判定f（x）在区间（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（2）判定f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并给出证明；
（3）求证：f（

\frac{1}{n^{2} + 3 n + 1}

$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$ ）=f（

\frac{1}{n + 1}

$\frac{1}{n+1}$ ）-f（

\frac{1}{n + 2}

$\frac{1}{n+2}$ ）

17．已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）若f（x）≤m²+m+1对一切x≤2恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≥x，求x的取值范围．

7．设数列{a_n}的首项为-1，且满足a_n+1=-

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ a_n-

\frac{3}{4}

$\frac{3}{4}$ ，n≥2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=

\frac{（ a_{n} + \frac{1}{2} ）^{2}}{1 - （ a_{n} + \frac{1}{2} ）}

$\frac{（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}}{1-（{a}_{n}+\frac{1}{2}）}$ ，且{b_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ ．

14．抛物线y²=8x上一点P（x₀，y₀）到原点的距离与到准线的距离相等，则x₀=1．

11．过原点的直线与圆x²+y²-4x+3=0相切，若切点在第四象限，则该直线方程为（　　）

- \sqrt{3}

$-\sqrt{3}$ x

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ x

- \frac{\sqrt{3}}{3}

$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ x

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ x

12．求证：不论m取什么实数，方程x²-（m²+m）x+m-2=0必有两个不相等的实数根．