题目内容

20.已知在△ABC中,AB=1,AC=2,BC=$\sqrt{7}$,D为CB上一点,$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$,点E为AC的中点,则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AD}$=(  )
A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{2}$

分析 运用向量的数量积的定义和余弦定理可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2,再由向量的中点表示和向量共线的表示,结合向量数量积的性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求.

解答 解:$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=1•$\sqrt{7}$•cosB=$\frac{1}{2}$(1+7-4)=2,
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$),$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$,
即有$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$2-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$2-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{3}$×7-$\frac{1}{2}$×1-$\frac{1}{6}$×2
=$\frac{3}{2}$,
故选D.

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质,考查余弦定理的运用,以及运算能力,属于中档题.

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