题目内容
4.在△ABC中,若AB=2,AC2+BC2=10,则△ABC的面积取最大值时,最大的边长等于$\sqrt{5}$.分析 由余弦定理和三角形的面积公式可得S2=$\frac{1}{4}$a2b2-$\frac{9}{4}$,进而由基本不等式可得4S2+9=a2b2≤$(\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2})^{2}$=25,由等号成立的条件可得.
解答 解:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则c=2,a2+b2=10,
由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{10-4}{2ab}$=$\frac{3}{ab}$,
∴sin2C=1-cos2C=1-$\frac{9}{{a}^{2}{b}^{2}}$,
又∵三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC,
∴S2=$\frac{1}{4}$a2b2sin2C=$\frac{1}{4}$a2b2(1-$\frac{9}{{a}^{2}{b}^{2}}$)=$\frac{1}{4}$a2b2-$\frac{9}{4}$,
∴4S2+9=a2b2≤$(\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2})^{2}$=25,
当且仅当a=b=$\sqrt{5}$时取等号,此时S2≤4,S≤2,即S取最大值2,
此时最大边长为$\sqrt{5}$,
故答案为:$\sqrt{5}$.
点评 本题考查基本不等式求最值,涉及余弦定理与三角形面积公式,属中档题.
练习册系列答案
相关题目
12.已知函数f(x)=|ex-1|+1,若a<b,f(a)=f(b),则实数a+b的取值范围为( )
A. | (-∞,0) | B. | (-∞,0] | C. | (-∞,1] | D. | (0,1) |
9.已知集合M={y∈R|y=|x|},N={x∈R|x=m2},则下列关系中正确的是( )
A. | M?N | B. | M=N | C. | M≠N | D. | N?M |