Question

12．设f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求满足f（x）=0，x∈[0，π]的x的集合；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b²=ac，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由f（x）=0，可得sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．结合x∈[0，π]，可得x-$\frac{π}{6}$的值，从而求得x的值．
（2）利用余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$，利用基本不等式求得cosB的最小值，可得B的范围．

解答 解：（1）根据f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1+cosx}{2}$=sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
由f（x）=0，可得sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
结合x∈[0，π]，可得x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$ 或 x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
可得x=$\frac{π}{3}$，或 x=π，故满足f（x）=0，x∈[0，π]的x的集合为{$\frac{π}{3}$，π}．
（2）在△ABC中，∵b²=ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
故B∈（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．