Question

【题目】已知函数f（x）= ，其中a＞0，且函数f（x）的最大值是
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）=lnf（x）﹣b有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜ 成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得函数f（x）= 的导数为f′（x）= ，

因为a＞0，所以当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，

y=f（x）在（﹣∞，1）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，

y=f（x）在（1，+∞）单调递减；

则 ，则a=1

（2）解：由题意知函数g（x）=lnf（x）﹣b=lnx﹣x﹣b，（x＞0）

所以g′（x）= ﹣1= ，

易得函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

所以g（x）max=g（1）=﹣1﹣b，

则依题意知﹣1﹣b＞0，

则b＜﹣1，所以实数b的取值范围是（﹣∞，﹣1）

（3）解：由题知f（x）= ＜ 对任意x∈（0，2）都成立，

所以k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x对任意x∈（0，2）都成立，从而k≥0．

又不等式整理可得k＜ +x2﹣2x，令g（x）= +x2﹣2x，

所以g′（x）= +2（x﹣1）=（x﹣1）（ +2），得x=1，

当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，2）上单调递增，

同理，函数g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣1，

依题意得k＜g（x）min=g（1）=e﹣1，

综上所述，实数k的取值范围是[0，e﹣1）

【解析】（1）求出f（x）的导数，由题意a＞0，讨论f（x）的单调区间，可得f（1）我最大值，解方程可得a的值；（2）求出g（x）的解析式，求得g（x）的导数，单调区间，可得g（x）的最大值，令最大值大于0，解不等式即可得到b的范围；（3）由题意可得f（x）= ＜ 对任意x∈（0，2）都成立，所以k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x对任意x∈（0，2）都成立，从而k≥0，可得k＜ +x2﹣2x，令g（x）= +x2﹣2x，求出单调区间，可得最小值，进而得到k的范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．