题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1 , A1B,
因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1 , ∠BAA1=60°,
所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,
又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1 , OC两两垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,|
|为单位长,建立如图所示的坐标系,
可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,
),B(﹣1,0,0),
则=(1,0,
),
=
=(﹣1,
,0),
=(0,﹣
,
),
设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则
,即
,
可取y=1,可得=(
,1,﹣1),故cos<
,
>=
=-
,
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,
故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.
【解析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OAspan>1 , A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;
(Ⅱ)易证OA,OA1 , OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,|
|为单位长,建立坐标系,可得
,
,
的坐标,设
=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则
, 可解得
=(
, 1,﹣1),可求|cos<
,
>|,即为所求正弦值.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质,需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案.
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