Question

【题目】梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE= BD，BD=BC=CD= AB= AD=2，DE⊥BC．

（1）求证：DE⊥平面ABCD；
（2）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接AC，交BD于O，

∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，

∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC平面ABCD，

∴AC⊥平面BDEF，

∵DE平面BDEF，∴DE⊥AC，

又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．

（2）

解：∵EF∥BD，EF= BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，

∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，

分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），C（﹣ ，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），

=（﹣1，0，1）， =（0，1，0）， =（ ），

设平面AEF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0，1），

设平面CEF的法向量 ，

则 ，取a=1，得 =（1，0，﹣ ），

∴cos＜ ＞= = = ．

即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（2）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．