题目内容
8.在平面直角坐标系xOy中,点M(x,y)的坐标满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{y≤2x-1}\\{x+y≤m}\end{array}\right.$,已知N(1,-1),且$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值为-1,则实数m=5.分析 作出不等式组对应的平面区域,利用向量数量积的定义将目标函数进行化简,结合z的几何意义进行求解即可.
解答 解:∵$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值为-1,
∴x-y的最小值为-1,
设z=x-y,解:作作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=x-y,得y=x-z表示,斜率为1纵截距为-z的一组平行直线,
∵x-y的最小值为-1,
∴作出直线x-y=-1,
则直线x-y=-1与y=2x-1相交于A,此时A为一个边界点,
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$,即A(2,3),
此时A也在直线x+y=m上,
则m=2+3=5,即直线为x+y=5,
平移直线y=x-z,当直线y=x-z经过点A时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,此时zmin=2-3=-1,
满足条件.
故m=5,
故答案为:5.
点评 本题主要考查线性规划的基本应用,利用z的几何意义以及向量数量积将目标函数进行化简是解决本题的关键.,注意利用数形结合来解决.
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