题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为:
,直线
的方程为
.
()当
时,求直线
被圆
截得的弦长;
()当直线
被圆
截得的弦长最短时,求直线
的方程;
()在(
)的前提下,若
为直线
上的动点,且圆
上存在两个不同的点到点
的距离为
,求点
的横坐标的取值范围.
【答案】()
;(
)
;(
)
.
【解析】试题分析:(1)圆的方程化为标准式,可得圆心
,半径
,根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线
被圆
截得的弦长;(2)当所截弦长最短时,
取最大值,
圆心到直线的距离,令
,
,利用配方法可得
时
取最大值,弦长取最小值,直线上方程为
,(
)设
,当以
为圆心,
为半径画圆
,当圆
与圆
刚好相切时,
,解得
或
,可得点
横坐标的取值范围为
.
试题解析:( )圆
的方程为
,圆心
,半径
.
当时,直线
的方程为
,
圆心到直线
的距离
,
弦长.
()∵圆心
到直线
的距离
,
设弦长为,则
,
当所截弦长最短时, 取最大值,
∴,令
,
.
令
,
当时,
取到最小值
.
此时,
取最大值,弦长取最小值,
直线上方程为.
()设
,
当以为圆心,
为半径画圆
,当圆
与圆
刚好相切时,
,
解得或
,
由题意,圆与圆心有两个交点时符合题意,
∴点横坐标的取值范围为
.
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