题目内容
【题目】对于在某个区间上有意义的函数
,如果存在一次函数
使得对于任意的
,有
恒成立,则称函数
是函数
的一个弱渐近函数.
(1)若函数是函数
在区间
上的一个弱渐近函数,求实数
的取值范围;
(2)证明:函数是函数
在区间
上的弱渐近函数;
(3)试问:函数与函数
(其中
为自然对数的底数)在区间
上是否存在相同的弱渐近函数?如果存在,请求出对应的弱渐近函数应满足的条件;如不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)存在,
,其中
.
【解析】
(1)由弱渐近函数的定义得出,由此可求出实数
的取值范围;
(2)当时,利用分子有理化结合放缩法证明出
,结合弱渐近函数的定义可证明结论成立;
(3)假设存在满足题意的弱渐近函数,根据弱渐近函数的定义得出
和
,可求得
以及实数
所满足的不等式组,解出即可得出满足题意的若渐近函数
的解析式.
(1)依题意,当时,
恒成立,
即恒成立,故
,所以,实数
的取值范围是
;
(2)当时,
,
,.
故,得证;
(3)假设存在满足题意的弱渐近函数,
,
若,由于当
时,
,故
,
但是,当时,
,故
,
不符合“恒成立”的要求,所以
,
此时,则
,
解得:;
,
当时,
,故
,
得,解得:
.
综上所述,函数与函数
在区间
上存在相同的弱渐近函数,对应的弱渐近函数是
,其中
.
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