Question

【题目】如图1所示，在直角梯形DCEF中，，，，，将四边形ABEF沿AB边折成图2.

（1）求证：平面DEF；

（2）若，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG，OG，证明，再利用线面平行判定定理，即可证得平面DEF；

（2）以C为坐标原点，CB，CD，CE所在直线分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面DEF的法向量，平面EAC的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值，从而求得平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值。

（1）连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG，OG,

则，，

又因为，，

所以，且，

所以四边形AOGF是平行四边形，

所以，

又平面DEF，平面DEF，

所以平面DEF.

（2）因为，，，

所以，

所以，

因为，，，

所以，

所以，

因为，

所以平面ABCD，

所以CB，CD，CE两两垂直，

以C为坐标原点，CB，CD，CE所在直线分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，

由，得，

设平面DEF的法向量为，

因为，，

所以由，，得，

令，得，，

所以，

设平面EAC的法向量，

因为，，

所以由，，得，

令，得，

设平面DEF与平面EAC所成的锐二面角为，

所以，

所以平面DEF与平面EAC所成的锐二面角的余弦值为.