题目内容
【题目】如图,已知四棱锥,底面
为菱形,
平面
,
,E,F分别是
,
的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面
所成角的余弦值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)在底面菱形中可得,
.由
平面
,得
.从而有线面垂直,因此线线垂直;
(2)由于图中有,
,
两两垂直,因此以A为坐标原点,建立空间直角坐标系
,设
,
,写出各点坐标,求出平面的法向量,用空间向量法表示线面角求出a,再求解二面角.
(1)证明:由四边形为菱形,
,可得
为正三角形.
因为E为的中点,所以
.又
,因此
.
因为平面
,
平面
,所以
.
而平面
,
平面
,且
,
所以平面
,又
平面
.所以
.
(2)由(1)知,
,
两两垂直,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系
,如图,设
,
,则
,
,
所以,且
为平面
的法向量,设直线
与平面
所成的角为
,由
,则有
解得
所以,
设平面的一法向量为
,则
,
因此取
,
则
因为,所以
平面
,故
为平面
的一法向量
又
所以.
因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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