Question

【题目】已知向量，函数，

.

（1）当时，求的值；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在实数m满足条件，且其范围为。

【解析】

（1）首先由平面向量数量积的坐标运算求得函数的解析式，然后求解时的值即可；

（2）由题意可得2cos2x﹣2mcosx，换元后结合二次函数的性质分类讨论求解实数的值即可；

（3）令求解的值，据此求得关于的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围是．

（1）=（cos，sin）（cos，﹣sin）

=coscos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，

当m=0时，f（x）=+1=cos2x+1，

则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；

（2）∵x∈[﹣，]，

∴|+|===2cosx，

则f（x）=﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，

令t=cosx，则≤t≤1， 则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，

①当＜，即m＜1时，

当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），

②当≤≤1，即m＜1时，

当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，

③当＞1，即m＞2时，

当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），

综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数．

（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或cosx=，

∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，

则，得，则≤m＜，

即实数m的取值范围是．