Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1；

a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；

联立方程 ，

解得 或 ，

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．

（2）

l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以点P到直线l的距离d为：

d= = ，φ满足tanφ= ，

又d的最大值dmax= ，

所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，

得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，

即a=﹣16或a=8．

【解析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得交点坐标；
（2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
【考点精析】通过灵活运用三角函数的最值，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，即可以解答此题．