题目内容
【题目】如图,已知菱形与直角梯形
所在的平面互相垂直,其中
,
,
,
,
为
的中点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设为线段
上一点,
,若直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的长.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
试题
(Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行,考虑到是
中点,因此取
中点
,可得
与
平行且相等,从而可证得
,所以可证得线面平行;
(Ⅱ)求二面角,可建立空间直角坐标系,用向量法求解,考虑到平面与平面
垂直,
是菱形,因此取
中点
,则有
,因此
,所以可作
,以
为
轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角可得二面角;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的坐标系,利用已知得
点坐标,从而可得向量
的坐标,利用向量
与平面
的法向量夹角的正弦值可求得
,最后可得
的长度.
试题解析:
(Ⅰ)取的中点
,连接
,则
∥
∥
,且
,所以四边形
为平行四边形
所以∥
,又
平面
,
平面
,
则∥平面
.
(Ⅱ)取 中点
,连接
,则
因为平面
平面
,交线为
,则
平面
作∥
,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图,
则
于是 ,设平面
的法向量
,
则 令
,则
平面的法向量
所以
又因为二面角为锐角,所以其余弦值为
.
(Ⅲ)则
,
,而平面
的法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,
于是
于是,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动.
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次,从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
摸出的结果 | 获得奖金(单位:元) |
4个白球或4个黑球 | 200 |
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 | 20 |
2个黑球2个白球 | 10 |
记为抽奖一次获得的奖金,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第次抽奖方法是:从编号为
的袋中(装有大小、形状相同的
个白球和
个黑球)摸出
个球,若该次摸出的
个球颜色都相同,则可获得奖金
元;记第
次获奖概率
.设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证:;
②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?