题目内容
【题目】设函数
（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点
，
①求实数
的范围；
②证明：
.
【答案】（1）
；（2）
，证明详见解析．
【解析】
试题本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将
代入，对
求导，切点的纵坐标为
，斜率为
，利用点斜式写出切线方程；第二问，对求导，令
，将函数
存在两个极值点
，转化为方程
有两个不同的正根，利用二次函数的图象分析列出不等式，解出a的取值范围；对求导，求出的根，得到
的表达式，构造函数
，利用导数判断函数
的单调性，求出最小值，即证明了结论．
试题解析：（1）当a＝2时，
，
，
则
，
，所以切线方程为．4分
（2）
（
），令
，得
，
①函数
有两个极值点等价于方程有两个不同的正根，
设
，
所以
，
所以函数有两个极值点
，
，则，
②由，得，则
，
，
，
在区间
上递减，
，
所以
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