题目内容
【题目】已知 (
,且
为常数).
(1)求的单调区间;
(2)若在区间
内,存在
且
时,使不等式
成立,求
的取值范围.
【答案】(1) 时,
单调递增区间为
,单调递减区间为
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
.(2)
【解析】试题分析:(1)求导,分类讨论可得到
的单调区间;
(2)由(1)知, 在区间
上单调递减,不妨设
,则
,∴不等式
可化为
,构造新函数
,则
在区间
上存在单调递减区间,可转化为
有解,即
有解,令
,讨论其性质可得
,故
.
试题解析:
(1)∵ (
且
为常数),∴
,∴①若
时,当
,
;当
时,
,即
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
.
②若时,当
,
;当
时,
,即
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)由(1)知, 在区间
上单调递减,不妨设
,则
,∴不等式
可化为
,即
,令
,则
在区间
上存在单调递减区间,∴
有解,即
,∴
有解,令
,则
,由
得
,当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,∴
,故
.
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