Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知2S_n=3ⁿ-1．
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=3ⁿ-1．∴2a₁=3-1，解得a₁=1．
当n≥2时，2S_n-1=3^n-1-1，∴2a_n=2•3^n-1，可得a_n=3^n-1．
（II）b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴{b_n}的前n项和T_n=0+$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=0+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{4×{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．