Question

16．log₃$\underset{\underbrace{\sqrt{3…\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}\sqrt{3}}}}}}{n}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用根式的性质与等比数列的前n项和公式$\underset{\underbrace{\sqrt{3…\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}\sqrt{3}}}}}}{n}$=${3}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$，再利用对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵$\underset{\underbrace{\sqrt{3…\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}\sqrt{3}}}}}}{n}$=${3}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$=${3}^{\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}}$=${3}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$，
∴原式=$lo{g}_{3}{3}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．