题目内容
已知函数f(x)满足f(logax)=
,(其中a>0且a≠1)
(1)求f(x)的解析式及其定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与x轴平行,如果存在,求出两点;如果不存在,说明理由.
a(x2-1) |
x(a2-1) |
(1)求f(x)的解析式及其定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与x轴平行,如果存在,求出两点;如果不存在,说明理由.
(1)设t=logax,则x=at,t∈R
∴f(t)=
=
×
=
(at-a-t)(t∈R)
∴f(x)=
(ax-a-x)(x∈R),定义域为R
(2)不存在,理由如下:
设x1,x2∈R且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=
(ax1-ax2+
)
=
∵ax1+x2+1>0,ax1+x2>0,而不论a>1还是0<a<1ax1-ax2与a2-1同号
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上是增函数.
故在函数y=f(x)的图象上不存在两个不同的点,使过两点的直线与x轴平行.
∴f(t)=
a(a2t-1) |
at(a2-1) |
a |
a2-1 |
a2t-1 |
at |
a |
a2-1 |
∴f(x)=
a |
a2-1 |
(2)不存在,理由如下:
设x1,x2∈R且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
a |
a2-1 |
=
a |
a2-1 |
ax1-ax2 |
ax1+x2 |
=
a(ax1-ax2)(ax1+x2+1) |
(a2-1)ax1+x2 |
∵ax1+x2+1>0,ax1+x2>0,而不论a>1还是0<a<1ax1-ax2与a2-1同号
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上是增函数.
故在函数y=f(x)的图象上不存在两个不同的点,使过两点的直线与x轴平行.
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