题目内容

已知函数f(x)满足f(logax)=
a(x2-1)
x(a2-1)
,(其中a>0且a≠1)
(1)求f(x)的解析式及其定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与x轴平行,如果存在,求出两点;如果不存在,说明理由.
(1)设t=logax,则x=at,t∈R
∴f(t)=
a(a2t-1)
at(a2-1)
=
a
a2-1
×
a2t-1
at
=
a
a2-1
(at-a-t)(t∈R)

f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)(x∈R)
,定义域为R
(2)不存在,理由如下:
设x1,x2∈R且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
a
a2-1
(ax1-a-x1-ax2+a-x2)

=
a
a2-1
(ax1-ax2+
ax1-ax2
ax1+x2
)

=
a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)
(a2-1)ax1+x2

ax1+x2+1>0,ax1+x2>0,而不论a>1还是0<a<1ax1-ax2与a2-1同号
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2
∴f(x)在R上是增函数.
故在函数y=f(x)的图象上不存在两个不同的点,使过两点的直线与x轴平行.
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