Question

（本小题满分12分）已知斜率为1的直线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）。
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设知：的方程为，代入的方程，并化简得：
  (＊)…………………………2分
设，则， ……4分
由为的中点知，故
即.故，　　∴  验证可知方程(＊)的△>0………6分
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为、，点关于直线①
的对称点的坐标为，直线的方程为②  ………8分
解方程组①②得：交点         ……………………………9分
此时最小，所求椭圆的长轴，
∴        …………………………………………………………11分
又， ∴，故所求椭圆的方程为  ………………12分

略