题目内容
【题目】如图,直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,
分别是
的中点。
(1)证明:平面平面
;
(2)若直线与平面
所成的角为
,求三棱锥
的体积.
【答案】见解析
【解析】
试题分析:(1)证明面面垂直,实质是证明线面垂直,由题意可转化为证明平面
,而证明线面垂直,一般利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与证明往往需要结合平几知识,如本题利用正三角形性质得
,而由直三棱柱性质可推导得
(2)先根据线面垂直确定线面角:设AB的中点为D,证明
平面
,则直线
直线
与平面
所成的角,由直三棱柱性质易得三棱锥
的高
,最后根据三棱锥体积公式求体积.
试题解析:(I)如图,因为三棱柱是直三棱柱,
所以,又
是正三角形
的边
的中点,
所以,因此
平面
,而
平面
,
所以平面平面
。
(2)设的中点为
,连接
,因为
是正三角形,所以
,又三棱柱
是直三棱柱,所以
,因此
平面
,于是
直线
与平面
所成的角,由题设知
,
所以
在中,
,所以
故三棱锥的体积
.
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