题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
为直角,
,
,
分别为
的中点.
(Ⅰ)证明:
平面
;
(Ⅱ)若,求二面角
.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明线面垂直,一般利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与证明,往往从两个方面进行,一是从平几知识,如矩形得ABBF,二是从立几知识,如从面面垂直出发,得线面垂直,再得线线垂直(Ⅱ)求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据题意确定空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出面的法向量,再根据空间向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与二面角之间关系求二面角
试题解析:(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且DAB为直角,故ABFD是矩形,
从而ABBF.
又PA底面ABCD, ∴平面PAD
平面ABCD,
∵ABAD,故AB
平面PAD,∴AB
PD,
在ΔPCD内,E、F分别是PC、CD的中点,EF//PD, ∴ ABEF.
由此得平面
.
(Ⅱ)以A为原点,以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系,
则
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
则
可取
设二面角EBDC的大小为,则
=
,
所以,
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