题目内容
【题目】设函数,.
(1)求的极值;
(2)设≤,记在上的最大值为,求函数的最小值;
(3)设函数(为常数),若使≤≤在上恒成立的实数有且只有一个,求实数和的值.
【答案】(1) 当时,有极大值极小值;(2);(3) ,.
【解析】
试题分析:(1)求函数的导数,由得,分区间列表讨论函数的符号与函数的单调性,可求函数的极值; (2) 由(1)知区间上单调递增,在区间上单调递减,分与分别求函数的最大值,再计算的最小值即可;(3),构造函数,求函数的导数,通过导数求函数的最小值,由得,又,所以,由的唯一性,可得,.
试题解析: (1)
∴当变化时,可以得到如下表格:
0 | — | 0 | |||
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
∴当时,有极大值极小值,
(2)由(1)知区间分别单调增,单调减,单调增,
所以当时,,特别当时,有;
当时,,则,
所以对任意的,
(3)由已知得在上恒成立,
则
∴时,,时,,
故时,函数取到最小值.从而;
在上恒成立,则,
∴时,,时,,
故时,函数取到最小值.从而,
由的唯一性知,.