题目内容

【题目】设函数

(1)的极值;

(2),记上的最大值为,求函数的最小值;

(3)设函数为常数),若使上恒成立的实数有且只有一个,求实数的值.

【答案】(1) 时,有极大值极小值(2)(3) .

【解析】

试题分析:(1)求函数的导数,,分区间列表讨论函数的符号与函数的单调性,可求函数的极值; (2) 由(1)知区间上单调递增,在区间上单调递减,分别求函数的最大值,再计算的最小值即可;(3),构造函数,求函数的导数,通过导数求函数的最小值,由,所以,由的唯一性,可得.

试题解析: (1)

变化时,可以得到如下表格:

0

0

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

时,有极大值极小值

(2)由(1)知区间分别单调增,单调减,单调增,

所以当时,,特别当时,有

时,,则

所以对任意的

3)由已知得上恒成立,

时,时,

时,函数取到最小值.从而

上恒成立,

时,时,

时,函数取到最小值.从而

的唯一性知.

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