Question

4．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换，化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出f（x）的取值范围，即得f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以函数f（x）的最小正周期为
T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）因为x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
所以2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（x）∈[-1，2]，
即函数f（x）在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值为2，最小值为-1．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了数据函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．