Question

【题目】数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)

A. (－4,0) B. (0，－4) C. (4,0) D. (4,0)或(－4,0)

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．

详解：

设C(m，n)，由重心坐标公式得，

三角形ABC的重心为(，)，

代入欧拉线方程，得－＋2＝0，

整理，得m－n＋4＝0，①

AB的中点为(1,2)，kAB＝＝－2，

AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.

联立解得

∴△ABC的外心为(－1,1)．

则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，

整理，得m2＋n2＋2m－2n＝8，②

联立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.

当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．

∴顶点C的坐标是(－4,0)．

故选A.