题目内容
【题目】已知是圆
上任意一点,过
作
轴的垂线段
,
为垂足.当点
在圆
上运动时,线段
中点
的轨迹为曲线
(包括点
和点
),
为坐标原点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)直线与曲线
相切,且
与圆
相交于
两点,当
的面积最大时,试求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
或
或
或
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设线段中点
,
,则
,即
,代入
,包括点
和点
,得
,即得曲线
的方程. (Ⅱ)(ⅰ)当直线
的斜率不存在时,不合题意,故设
方程为
,联立
,得
,因为直线
与曲线
相切,所以
. 又点
到直线
的距离为
,且
,表示
即得解.
试题解析:
(Ⅰ)设线段中点
,
,则
,即
,
代入,包括点
和点
,
得,
曲线
的方程为
.
(Ⅱ)(ⅰ)当直线的斜率不存在时,不合题意,故设
方程为
,
联立,得
,
,
.
又点到直线
的距离为
,且
,
,
当即
时,
的面积最大为4,
,解得
,
,
此时直线有4条,方程为
或
.(或一般方程为:
或
或
或
)
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