题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,C为直线y=5上的动点,以C为圆心的圆C截y轴所得的弦长恒为6,过原点O作圆C的一条切线,切点为P,则点P到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值为_____.
【答案】1
【解析】
先根据弦长确定圆C的半径的关系式,结合切点的性质,确定P的轨迹,结合轨迹特点求出最值.
根据题意,设C的坐标为(m,5),圆C的半径为r,
又由圆C截y轴所得的弦长恒为6,则点(0,2)在圆C上,则r2=m2+9,
又由过原点O作圆C的一条切线,切点为P,则|CP|2=r2=m2+9,
|OC|2=m2+25,则|OP|2=|OC|2﹣|CP|2=(m2+25)﹣(m2+9)=16,
则P在以O为圆心,半径为4的圆上,其圆心O到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5,则P到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值为d﹣r=5﹣4=1,
故答案为:1

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