Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，C为直线y＝5上的动点，以C为圆心的圆C截y轴所得的弦长恒为6，过原点O作圆C的一条切线，切点为P，则点P到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值为_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

先根据弦长确定圆C的半径的关系式，结合切点的性质，确定P的轨迹，结合轨迹特点求出最值.

根据题意，设C的坐标为（m，5），圆C的半径为r，

又由圆C截y轴所得的弦长恒为6，则点（0，2）在圆C上，则r2＝m2+9，

又由过原点O作圆C的一条切线，切点为P，则|CP|2＝r2＝m2+9，

|OC|2＝m2+25，则|OP|2＝|OC|2﹣|CP|2＝（m2+25）﹣（m2+9）＝16，

则P在以O为圆心，半径为4的圆上，其圆心O到直线3x+4y﹣25＝0的距离d＝＝5，则P到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值为d﹣r＝5﹣4＝1，

故答案为：1