题目内容
【题目】已知函数且
,函数
在点
处的切线过点
.
(1) 求满足的关系式,并讨论函数
的单调区间;
(2)已知,若函数
在
上有且只有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2)或
或
.
【解析】分析:(1)根据函数在点
处的切线过点
.可得到
,求出
的导数,通过讨论
的范围求出函数的单调区间即可;
(2) 令 ,问题等价函数
在
]与
轴只有唯一的交点,求出函数的导数,通过讨论
的范围,结合函数的单调性确定
的范围即可.
详解:
(1),
∴,
,
∴切线方程为:,
∵切线过点, ∴
,
∴,
①当时,
单调递增,
单调递减,
时,
单调递减,
单调递增.
(2)等价方程 在
只有一个根,
即在
只有一个根,
令,等价函数
在
与
轴只有唯一的交点,
∴
①当时,
在
递减,
的递增,
当时,
,要函数
在
与
轴只有唯一的交点,
∴或
,
∴或
.
②当时,
在
递增,
的递减,
递增,
∵,当
时,
,
∴在
与
轴只有唯一的交点,
③当,
在
的递增,
∵,
∴在
与
轴只有唯一的交点,
故的取值范围是
或
或
.
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