Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；
（2）已知a＞2，求证：x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x+1）+f（x+2）＜4，

即|x﹣1|+|x|＜4，

①当x≤0时，不等式为1﹣x﹣x＜4，即 ，

∴ 是不等式的解；

②当0＜x≤1时，不等式为1﹣x+x＜4，即1＜4恒成立，

∴0＜x≤1是不等式的解；

③当x＞1时，不等式为x﹣1+x＜4，即 ，

∴ 是不等式的解．

综上所述，不等式的解集为

（2）解：证明：∵a＞2，

∴f（ax）+af（x）=|ax﹣2|+a|x﹣2|=|ax﹣2|+|ax﹣2a|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|＞2，

∴x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立

【解析】（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，利用零点分段法求出各段上的解，综合可得答案；（2）由a＞2，结合绝对值的性质，可得x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．