题目内容

【题目】已知函数 ,其中.

(1)当时,求函数的值域;

(2)若对任意,均有,求的取值范围;

(3)当时,设,若的最小值为,求实数的值.

【答案】(1);(2) ;(3) .

【解析】试题分析:(1)当a=0时, 借助换元法及二次函数图象及性质即可求函数g(x)的值域;

(2)分类讨论,|f(x)|≤2,可化为变量分离构建新函数求最值,即可求a的取值范围;

(3)分类讨论,利用配方法,结合的最小值为,求实数a的值.

试题解析:

(1)当时,

因为

所以 的值域为

(2)若

时, 可化为

,所以

因为为递增函数,所以函数的最大值为

因为(当且仅当,即取“”)

所以的取值范围是.

(3)因为时,

,则

时,即

时, ,即

因为,所以 .

,此时

,即,此时,所以实数.

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