题目内容
【题目】已知函数, ,其中.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若对任意,均有,求的取值范围;
(3)当时,设,若的最小值为,求实数的值.
【答案】(1);(2) ;(3) .
【解析】试题分析:(1)当a=0时, ,,借助换元法及二次函数图象及性质即可求函数g(x)的值域;
(2)分类讨论,|f(x)|≤2,可化为,变量分离,构建新函数求最值,即可求a的取值范围;
(3)分类讨论,利用配方法,结合的最小值为,求实数a的值.
试题解析:
(1)当时, ,
因为,
所以, 的值域为
(2)若,
若时, 可化为
即,所以
因为在为递增函数,所以函数的最大值为,
因为(当且仅当,即取“”)
所以的取值范围是.
(3)因为当时, ,
令, ,则 ,
当时,即, ;
当时, ,即,
因为,所以, .
若, ,此时,
若,即,此时,所以实数.