题目内容
13.如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对于棱AB和CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大?分析 证明四边形EFGH平行四边形,设AF:AC=n,则FC:AC=1-n,又设AB与CD所成角θ,则有∠FGH=θ(或π-θ).SEFGH=GF•GH•sin∠FGH=(1-n)AB•nCDsin∠FGH=n(1-n)AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值,故n(1-n)取最大值时SEFGH最大,即可得出结论.
解答 解:∵AB∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=GF,∴AB∥GF.
同理证EH∥AB,∴GF∥EH,同理证EF∥GH.故四边形EFGH平行四边形.
设AF:AC=n,则FC:AC=1-n,又设AB与CD所成角θ,则有∠FGH=θ(或π-θ).
∴SEFGH=GF•GH•sin∠FGH=(1-n)AB•nCDsin∠FGH=n(1-n)AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值,
故n(1-n)取最大值时SEFGH最大,当且仅当n=1-n,即n=$\frac{1}{2}$时取得大值.故当E、F、G、H分别各边点时四边形EFGH面积最大.
点评 本题考查四面体,考查面积的求解,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 第一象限 | B. | 第一、二象限 | C. | 第一、三象限 | D. | 第二、四象限 |