Question

2．已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=0，若不等式$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁、x₂恒成立，则不等式2xf（3x）＜0的解集是（-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都成立，知g（x）=xf（x）在（-∞，0）上单调递减，由f（x）的奇偶性可判断g（x）的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图象可解g（3x）＜0，进而得到答案．

解答 解：∵$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都成立，
∴函数g（x）=xf（x）在（-∞，0）上单调递减，
又 f（x）为奇函数，∴g（x）=xf（x）为偶函数，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（-1）=g（1）=0，
作出g（x）的草图如图所示：
2xf（3x）＜0即g（3x）＜0，
由图象得，-1＜3x＜0或0＜3x＜1，解得-$\frac{1}{3}$＜x＜0或0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴不等式2xf（3x）＜0解集是（-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$），
故答案为：（-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式的求解，综合运用函数性质化抽象不等式为具体不等式是解题关键．