题目内容

2.已知函数f(x)=ax2+2bx+c(x∈R,a≠0).
(1)若a=-1,c=0,且y=f(x)在[-2,4]上的最大值为g(b),求g(b);
(2)若a>0,函数f(x)在[-10,-2]上不单调,且f(x)的值域为[0,+∞),求$\frac{f(1)}{b-2a}$的最小值.

分析 (Ⅰ)求出a=-1,c=0时的f(x)解析式,配方求出对称轴,讨论区间[-2,4]与对称轴的关系,运用单调性即可得到最大值g(b);
(Ⅱ)由图象与x轴相切,可得判别式为0,由f(x)在[-10,-2]上不单调,可得对称轴介于-8和-2之间,再对所求式子整理变形,令t=$\frac{b}{a}$∈[2,10],结合基本不等式,即可得到最小值12.

解答 解:(Ⅰ)a=-1,c=0时,f(x)=-x2+2bx=-(x-b)2+b2
∴对称轴是直线x=b,
①b<-2时,[-2,4]为减区间,即有f(x)max=f(-2)=-4-4b;
②当-2≤b≤4时,即有f(x)max=f(b)=b2
③当b>4时,[-2,4]为增区间,即有f(x)max=f(4)=-16+8b.
综上所述,g(b)=$\left\{\begin{array}{l}{-4-4b,(b<-2)}\\{{b}^{2},(-2≤b≤4)}\\{-16+8b,(b>3)}\end{array}\right.$;
(Ⅱ)∵f(x)的值域为[0,+∞),
∴△=0即为4b2-4ac=0即为 $\frac{c}{a}$=($\frac{b}{a}$)2
∵f(x)在[-10,-2]上不单调,
∴对称轴x=-$\frac{b}{a}$∈(-10,-2),
∴$\frac{b}{a}$∈(2,10),
即有 $\frac{f(1)}{b-2a}$=$\frac{a+2b+c}{b-2a}$=$\frac{1+\frac{2b}{a}{+(\frac{b}{a})}^{2}}{\frac{b}{a}-2}$,
设$\frac{b}{a}$=t∈(2,10)⇒t-2∈(0,8),
即有 $\frac{f(1)}{b-2a}$=$\frac{1+2t{+t}^{2}}{t-2}$=(t-2)+$\frac{9}{t-2}$+6
≥2$\sqrt{(t-2)•(\frac{9}{t-2})}$+6=12.
∴$\frac{f(1)}{b-2a}$的最小值为12,此时当且仅当t-2=3∈(0,8)⇒t=5.

点评 本题考查二次函数的最值求法,主要考查函数的单调性的运用,注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用,同时考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网