题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:
;
(3)试比较与
,并证明你的结论。
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)求得,对
的范围分类讨论即可求得
的单调性。
(2)将转化成
,证明
恒成立,利用导数求得
,问题得证。
(3)由(2)可得:,整理得:
,所以
,整理
得:
利用即可得:
,问题得解。
(1)函数的定义域为:
,
①当时,
,所以
在
上单调递增
②当时,令
,解得
.
当时,
,所以
, 所以
在
上单调递减;
当时,
,所以
,所以
在
上单调递增.
综上,当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当
时,
,要证明
,
即证,即证:
.
设,则
,令
得,
.
当时,
,当
时,
.
所以为极大值点,且
在
处取得最大值。
所以,即
。故
.
(3)证明:(当且仅当
时等号成立),即
,
则有+
,
故:+
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练习册系列答案
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的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立关
的回归方程;
(3)若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比,那么
为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.