Question

设双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是双曲线渐近线上的一点，AF₁⊥AF₂，原点O到直线AF₁的距离为|OF₁|，则双曲线的离心率为(    )

A．+1

B．-1

C．

D．2

Answer 1

D

不失一般性,设A(m,n)(m>0,n>0)在y=x上,AC⊥x轴,交x轴于C.作OB垂直于AF₁,交AF₁于B点,由题意OB∥AF₂,且|OB|=|AF₂|
∵|OB|=|OF₁|=c
∴|AF₂|=2|OB|=c
又AF₁⊥AF₂
∴|AF₁|==c
由三角形的等面积性得|AF₁|·|AF₂|=n×2cn=c
在Rt△ACF₂中,|CF₂|==c
∴m=c-c=c
∴c=×c=e=2．